Rubrica: Matematicamente- Speciale funzioni matematiche -3-

Titolo o argomento: Funzioni matematiche note (un rapido elenco)

 Un elenco apparentemente lungo…

…in realtà sintetico

per sapere le generalità in modo veloce

Andando un pò più nello specifico rispetto al precedente articolo sulle funzioni matematiche desidero elencarvi e illustrarvi le più comuni funzioni note. Questo perchè ho notato come durante gli esami orali, studenti che hanno preso ottimi voti allo scritto, non sanno bene come rappresentarle su un foglio e soprattutto non ne conoscono il dominio e il codominio… Fatto strano ma che accade spesso.

Legenda: Indicherò con D il dominio della funzione, con C il codominio e con I l’intervallo di invertibilità della funzione. Mi raccomando, abituatevi al pensiero di cosa vogliano dire i suddetti termini anche perchè ogni testo che trovate adotta diverse lettere per rappresentarli e così ogni sito, forum ecc… Se non imparate a memoria ma ne conoscete il significato non incontrerete problemi insormontabili.

Funzioni lineari:

Un esempio semplice y=3x-1 ma potrebbe essere una qualunque altra funzione nella forma y=mx+q. Quando dobbiamo descrivere un asintoto obliquo in uno studio di funzione si ricorre ad una funzione lineare.

Funzione valore assoluto (modulo)

Un esempio y=|x| che è y=x se x≥0 oppure y=-x se x ≤0 esattamente come si vede nell’immagine sopra. In una qualunque funzione contenente il modulo(vedremo in seguito), si vede dove questo si azzera e poi si definisce l’argomento positivo oltre il punto in cui si azzera e negativo prima dello stesso punto. Se vi è più di un modulo, il metodo di risoluzione diventa molto simile a quello delle disequazioni… ma lo vedremo nello specifico in seguito.

y=|x|

• Dominio uguale a tutto l’insieme dei Numeri Reali D=R

• Codominio contenuto tra zero e più infinito C= [0,+∞)

• Invertibilità tra zero e più infinito I=[0,+∞)

Funzione seno

y = sin x

• D=R

• C=[-1,1]

• I=[-π/2, π/2]

• potete ricordarvi che il seno di zero vale zero come vedete nell’immagine sopra, per ricordarvi come disegnarla e per non fare confusione con il coseno.

Funzione coseno

y = cos x

• D=R
• C=[-1,1]
• I=[0, π]

Funzione tangente

y = tg x

• D=R-[π/2+kπ]
• C=R
• I=(-π/2, π/2)
• Può essere interessante notare che la tangente, essendo uguale al seno fratto il coseno, non esiste quando il coseno vale zero. Ovviamente.

Funzione potenza  

y = xⁿ

Nell’immagine sopra a sinistra abbiamo y = x²

• D=R

• C=[0, +∞)

• I= [0, +∞)

Mentre in quella a destra abbiamo y = x³

• D=R

• C=R

• I=R

 

Funzione esponenziale

y = a^x

• D=R
• C=(0, +∞)
• I=R

Funzione logaritmo

y = log_ax

• D=(0, +∞)
• C=R
• I=(0, +∞)

Funzione arcotangente

y = arctg x

• D=R
• C=(-π/2, π/2)
• I=R
• Si tratta della funzione inversa della tangente ossia tan^-1x

Funzione arcoseno

y = arcsen x

• D=[-1, 1]
• C=[-π/2, π/2]
• I=[-1, 1]
• Funzione inversa del seno

Funzione arcocoseno

y = coseno x

• D=[-1, 1]
• C=[0, π]
• I=[-1, 1]
• Funzione inversa del coseno

Funzione cotangente

Potete provare a ricavare voi i dati sapendo che la tangente è data dal rapporto tra il seno diviso il coseno, mentre la cotangente è il reciproco ossia è data dal rapporto tra il coseno diviso il seno.

Funzione arcocotangente

Potete provare a ricavare voi i dati sapendo che l’arcocotangente è la funzione inversa della cotangente.

Funzioni iperboliche

Seno iperbolico

y = senh x

• D=R
• C=R
• I=R
• la sua funzione inversa è la funzione settore seno iperbolico

Coseno iperbolico

y = cosh x

• D=R
• C=[1, +∞)
• I= Non è invertibile su R. Nota però che il coseno iperbolico, come applicazione da [0,+∞) in [1,+∞) è invertibile
• la sua funzione inversa è la funzione settore coseno iperbolico

Tangente iperbolica

y = tanh x

• D=R
• C=(-1,1)
• I=R
• la sua funzione inversa è la funzione settore tangente iperbolica

e ancora:

y=1/x

• D=R-[0]
• C=R-[0]
• I=R-[0]

y=√x

• D=[0, +∞)
• C=[0, +∞)
• I=[0, +∞)

Utilità: Graficando online

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Rubrica: Matematicamente- Speciale funzioni matematiche -2-

Titolo o argomento: Dominio Codominio Invertibilità Monotonia

Dominio

Con questo termine indichiamo la zona dell’asse x (ascisse) dove la funzione è presente. E ad esso sottraiamo la zona dell’asse delle x in cui la funzione non esiste. Detto in soldoni tramite il dominio sappiamo la porzione (il tratto - l’intervallo - la parte di…) asse delle x in cui la funzione passa sicuramente.

Codominio

Nel codominio vediamo fino a dove la funzione è presente sull’asse delle y (ordinate). Ad esempio, come vedremo nel prossimo articolo, le funzioni seno e coseno hanno codominio compreso tra -1 ed 1.

Può sembrarvi banale? Eppure durante diversi esami orali di Analisi Matematica 1 ho sentito molti, molti studenti non conoscere il dominio e il codominio della funzione tangente ad esempio… Per questo nel prossimo articolo trovate un interessante elenco.

Funzioni invertibili:

Una funzione è invertibile quando è sia iniettiva che suriettiva.

• Iniettiva, in parole povere, significa che “distinti elementi di un insieme A, hanno distinte immagini nell’insieme B“. Tuttavia l’insieme B può avere anche altri elementi che non travano corrispondenza in A.

• Suriettiva significa, sempre in termini semplificati, che ”ogni elemento dell’insieme immagine B corrisponde ad un elemento dell’insieme A“. In soldoni non ci sono elementi liberi da legami…

f(x) : A→B è la funzione diretta che va da A in B

f^-1(x): B→A è la funzione inversa che va da B in A. Dominio e Codominio (immagine) semplicemente si scambiano.

Quando invertiamo una funzione esplichiamo la x e poi, per convenzione scambiamo le lettere… ovvero al posto della x mettiamo la y e viceversa:

funzione f(x) = y = 2x+1 esplichiamo la x e otteniamo x= (y-1)/2 scambiamo le lettere x,y e abbiamo y=(x-1)/2 che è la funzione inversa della funzione iniziale. Perchè si scambiano le lettere? Perchè il dominio diventa il codominio e viceversa…

Funzioni monotòne

Giusto per farvi capire il senso, una funzione monotòna è una funzione che non cambia comportamento ovvero una funzione crescente (ma potrebbe anche essere strettamente crescente) oppure una funzione decrescente (ma potrebbe essere strettamente decrescente). Non ditelo però al prof. con queste parole Su qualunque libro di testo di Analisi matematica trovate (spero) un semplice paragrafo che esplica le condizioni di crescenza, decrescenza assai semplici.

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