Rubrica: Matematicamente - Speciale equazioni differenziali -3-

Titolo o argomento: Equazioni differenziali ordinarie lineari NON omogenee del primo ordine a coeff. costanti

Vi propongo in questo articolo un file pdf allegato (in basso) nel quale ho riportato la soluzione delle equazioni differenziali lineari NON omogenee. Tale soluzione si compone di una soluzione  omogenea (ottenibile esattamente allo stesso modo delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee) e di una soluzione particolare 

In questa rubrica “Speciale equazioni differenziali” tratterò in modo semplificato tutte le principali tipologie di equazioni differenziali. Il lavoro di approfondimento, come al solito, spetta a voi.

Se desideri una rapida e comoda classificazione delle equazioni differenziali per fare ordine durante i tuoi studi clicca qui o visita questo articolo.

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Classificazione equazioni differenziali
Equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee a coefficienti costanti
Equazioni differenziali ordinarie lineari NON omogenee

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Rubrica: Matematicamente - Speciale equazioni differenziali -2-

Titolo o argomento: Equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee del primo ordine a coeff. costanti

Vi propongo in questo articolo un file pdf allegato (in basso) nel quale ho riportato sia il tipo di equazione differenziale di cui sopra (completo di insieme delle soluzioni), sia un semplice esempio di svolgimento completo di piccoli suggerimenti aggiunti con la tavoletta grafica

In questa rubrica “Speciale equazioni differenziali” tratterò in modo semplificato tutte le principali tipologie di equazioni differenziali. Il lavoro di approfondimento, come al solito, spetta a voi.

Se desideri una rapida e comoda classificazione delle equazioni differenziali per fare ordine durante i tuoi studi clicca qui o visita questo articolo.

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Classificazione equazioni differenziali
Equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee a coefficienti costanti
Equazioni differenziali ordinarie lineari NON omogenee

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Rubrica: Matematicamente - Speciale equazioni differenziali -1-

Titolo o argomento: Classificazione delle equazioni differenziali

Sebbene possa sembrare insolito, non ho trovato né su internet né su diversi libri di testo una semplice classificazione delle equazioni differenziali che potesse permettere a chi ci si avvicina seriamente per la prima volta, di poter svolgere gli esercizi avendo con sé una sorta di riferimento dove visionare davanti a quale tipo, quale categoria, quale forma di equazione differenziale si trova.

Capisco che i paragrafi di un libro di Analisi Matematica possono risultare perfettamente in ordine per una persona esperta quale è un professore. Tuttavia ho notato che per gli studenti che utilizzano vecchi appelli per esercitarsi, risalire al tipo di equazione differenziale che si ha davanti, può risultare molto confusionario.

Ecco quindi una rapida classificazione delle equazioni differenziali che vengono trattate nel corso di Analisi Matematica 2 di Ing. Meccanica e di diverse altre facoltà. In seguito vedremo anche il metodo risolutivo delle principali tipologie di equazioni differenziali.

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Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Disuguaglianza triangolare

Che cos’è?

E’ una proprietà matematica del modulo.

A cosa serve?

E’ molto utile quando ad esempio hai necessità di maggiorare una funzione con il modulo (analisi matematica 2) o per la dimostrazione di alcuni teoremi di analisi matematica 1 quali ad esempio: Il teorema dell’unicità del limite.

In pratica?

Il modulo della somma di due numeri reali è minore o tutt’al più uguale alla somma dei moduli degli stessi numeri presi singolarmente:

| x + y | ≤ |x|+|y|

Un esempio numerico?

|3+(-5)| ≤ |3|+|-5|

|-2| ≤ |3| + |-5|

2 ≤ 3+5 = 2 ≤ 8 VERO

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Rubrica: Una frase per teorema

Titolo o argomento: Limiti di successioni

Limiti di successioni

Perchè si studiano?

Sono utilissimi quando si vanno a calcolare aree per mezzo degli integrali.

Cosa sono?

Una successione è una legge che ad ogni numero naturale “n” fa corrispondere uno e un solo numero reale a_n.

Posso vedere un esempio “grafico”?

La successione a_n ha un limite che si chiama “a” (”a” è un numero reale), qualunque sia il margine che  scegli intorno ad “a” (a-ε; a+ε) allora esiste un indice ν (nelle immagini sotto prima ν=5 e poi ν=7) tale che per n>5 (oppure per n>7 nel caso dopo) e quindi ad esempio per a_5,9 (oppure a_7,5 nel caso dopo), a_n rientra nell’intervallo: a_na-ε<a_n<a+ε.

In pratica?

In pratica esiste un indice ν (ni) che se viene superato da n allora la successione a_n cade dentro l’intervallo a-ε;  a+ε pertanto risulta vero che “a” è il limite di “a_n”.

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Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Coordinate polari

Coordinate polari: le due coordinate, in genere indicate con (r,θ) o con (ρ,θ), che individuano un punto nel piano mediante la lunghezza “r” del segmento che unisce il punto all’origine, o polo, e l’angolo “θ” formato da tale segmento con un asse prefissato.

Le coordinate polari del punto di coordinate (r,θ) sono:

(x,y) = (r·cosθ, r·sinθ)

Le coordinate polari fanno parte della famiglia delle coordinate “curvilinee” assieme alle coordinate sferiche, cilindriche ed ellittiche di cui parleremo nel proseguimento di questa rubrica.

Continua…

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Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Coordinate cartesiane

Coordinate cartesiane: un sistema per la rappresentazione di un punto nello spazio nei termini della sua distanza, misurata lungo un sistema di assi perpendicolari tra loro, a partire da una data origine.

Per convenzione le direzioni positive vengono prese verso destra e in alto. Sempre per convenzione il primo quadrane è quello nel quale entrambe le quantità sono positive. I quadranti successivi vanno ricercati in senso antiorario a partire dal primo.

Un banale esempio che mostra le convenzioni spiegate in questo articolo

Continua…

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Gli attrezzi per costruire i tuoi esami

A breve partirà su questo blog una nuova rubrica intitolata “Officina della Matematica”, sarà divisa in circa 30 articoli e si svolgerà nel corso del 2010. Lo scopo di questa rubrica, come il nome lascia intendere, è quello di esporre in modo chiaro e semplice un piccolo catalogo di strumenti di matematica molto utili per superare gli esami universitari in particolar modo presso le facoltà di Ingegneria.

Un set di chiavi di manovra, cacciaviti e pinze sono alla base del fabbisogno di strumenti di cui un meccanico necessita per intervenire su un problema tecnico. Senza questi strumenti non può operare. Se ne ha solo alcuni impiegherà molto più tempo del dovuto con ovvie conseguenze in termini di sprechi…

Allo stesso modo, in matematica, ci sono una serie di strumenti che occorrono per affrontare in modo rapido ed efficiente i problemi posti dagli esami. Spesso si tenta di superare gli esami “arrangiando” le conoscenze in matematica senza rendersi conto che, affrontando superficialmente “Analisi 1 e 2″, si impiegherà molto più tempo per superare gli esami tecnici successivi (vedi Ing. Meccanica - Elettronica…). Operatori ed operazioni in matematica sono l’esatto equivalente di chiavi, pinze e quant’altro occorre per operare in officina meccanica.

Talvolta però occorre fare calcoli, connessioni logiche… ed ecco allora che si ha bisogno di un altro tipo di officina: l’Officina della Matematica.

Gli articoli in questione usciranno in ordine sparso in quanto tra quelli più utili troviamo quelli che si studiano in fasi avanzate di un corso di matematica.

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Rubrica: Matematicamente

Titolo o argomento: A cosa serve studiare la matematica?

Ecco quanto spesso gli studenti affermano alle scuole medie inferiori e superiori:

Non mi serve! Quando andrò a lavorare mica mi faranno risolvere equazioni e integrali! A che servono tutti questi calcoli? Non dobbiamo fare tutti lo scienziato! Non farò mai il professore di Matematica. Stiamo perdendo tempo! La Prof. si dilunga su cose inutili. Ecc. Ecc.

Ma tutto questo è vero? Ovviamente no. Ecco un esempio breve, semplice e comprensibile a chiunque:

Se fai l’atleta, ti piace correre e sei un centometrista, sai bene come l’allenamento del tuo corpo sia fondamentale per una buona prestazione e, cosa altrettanto importante, per non farti male. Così vai in palestra, alleni busto braccia e gambe… Quando poi ti schieri ai blocchi di partenza non devi metterti a sollevare pesi. “Devi correre… Più forte che puoi e con la migliore tecnica che hai imparato!”

Quando studi matematica fai la medesima cosa. Molto probabilmente a lavoro, è vero, non dovrai risolvere equazioni o integrali… tuttavia ti sarà richiesto di “ragionare”, di essere logico, avere una mente pronta, allenata, essere sveglio, attivo… La matematica che studi a scuola è fondamentale per “Allenare la tua mente a qualcosa di più grande”.

Non avete nemmeno idea di quante cose riesco a fare da quando ho deciso di studiare la matematica anche al di fuori degli studi scolastici e universitari… Certo è che un fattore penalizzante può essere senz’altro la sfortuna di trovare libri di testo poco chiari, confusionari, troppo densi e con pochi esempi. In quel caso, nemmeno con tutta la passione possibile immaginabile è possibile studiare e capire qualcosa.

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