Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Gradiente di uno scalare

Sia “p” uno scalare (ad esempio la pressione o la temperatura) e sia V = (V₁, V₂, V₃) un vettore (ad esempio un vettore velocità). Siano entrambi funzione del punto (x₁, x₂, x₃) o se vogliamo del punto (x, y, z), è la stessa cosa. Il gradiente di uno scalare è il seguente vettore:

Il simbolo è l’operatore differenziale vettoriale Nabla e lo scalare “p” è detto”Potenziale del risultante campo vettoriale”. E’ anche possibile definire il gradiente di un vettore (gradV) applicando la definizione nella formula sopra ad ogni componente. Il risultato che si ottiene è il seguente (gradV₁, gradV₂, gradV₃₎ ed è un vettore di vettori.

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Titolo o argomento: Definizione di forma differenziale lineare

Si definisce forma differenziale lineare in due variabili l’espressione:

a(x,y) dx + b(x,y) dy

Dove le funzioni “a” e “b” sono i coefficienti della forma differenziale. Se tali coefficienti sono funzioni continue (o di classe C¹) allora la forma differenziale si dirà continua (o di classe C¹). Possiamo considerare la “forma differenziale” semplicemente come un’estensione del concetto di funzione matematica a più variabili.

Una forma differenziale viene chiamata “ω” ed è definita su un insieme aperto di Rⁿ (per intenderci R è lo spazio ad una dimensione, R² è lo spazio a due dimensioni, R³ è lo spazio a tre dimensioni); essa ha una dimensione (chiamata k) che può essere minore o uguale a n ovvero alla dimensione dello spazio euclideo Rⁿ che la contiene. Una forma differenziale può anche essere chiamata k-forma.

L’interesse riguardo le “forme differenziali” risiede nel fatto che si può effettuare l’integrale della forma differenziale stessa su un qualsiasi oggetto geometrico (es. curva, superficie, volume) di Rⁿ. Ovviamente lo spazio euclideo Rⁿ e la forma differenziale (o k-forma) devono avere la stessa dimensione, ovvero n=k.

Una 1-forma è pertanto integrabile su una curva, una 2-forma è integrabile su una superficie ed una 3-forma su un volume.

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Titolo o argomento: Definizione di campo vettoriale

Un campo vettoriale su uno spazio euclideo è un’applicazione (su un dominio connesso) che associa ad ogni punto di una regione di uno spazio euclideo un vettore dello spazio stesso.

Più in generale un campo vettoriale su una curva oppure su una superficie è una funzione che associa ad ogni punto della curva oppure della superficie, un vettore dello spazio tangente in quel punto la curva oppure la superficie.

Semplificando. Se in una regione dello spazio è definita una grandezza vettoriale che viene rappresentata in ogni punto di tale regione da un opportuno vettore, allora l’insieme dei vettori associati ai punti della regione costituiscono un campo vettoriale.

Un campo vettoriale sul piano si può rappresentare graficamente come una distribuzione di vettori bidimensionali in modo che il vettore immagine del punto x abbia l’origine in x stesso. In modo analogo si possono visualizzare campi vettoriali su superfici o nello spazio tridimensionale.

Un esempio di campo vettoriale nel mondo reale lo si ha considerando la velocità associata alle particelle di fluido che scorrono all’interno di una condotta o di un fiume o ancora in una corrente d’aria.

Abbiamo elaborato questa immagine tridimensionale per facilitare la comprensione del concetto di campo vettoriale

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Titolo o argomento: Introduzione ai campi matematici studiati in Analisi Matematica II

Quando sentiamo dire le espressioni verbali “il campo della moda”, “nel campo della ricerca”, “nel campo della meccanica”, e così via… siamo già pronti a comprendere che per campo intendiamo un insieme di cose attinenti tutte al medesimo argomento o comunque tutte in relazione con esso. Ebbene nella matematica il concetto è esattamente lo stesso. Un campo è una sorta di “zona”nella quale sono valide determinate operazioni matematiche e determinate proprietà di tali operazioni.

Più nello specifico un campo è un insieme di entità soggette a due operazioni binarie (addizione e moltiplicazione) tali che: l’insieme è un “gruppo commutativo” rispetto all’addizione; l’insieme privato dello zero è un gruppo commutativo rispetto all’addizione; la moltiplicazione è distributiva rispetto all’addizione.

Secondo tale definizione gli insieme dei numeri razionali e gli insiemi dei numeri reali sono dei campi, al contrario l’insieme dei numeri naturali non lo è (vedi le tipologie di numeri qui).

Nei prossimi articoli di questa rubrica vedremo in sintesi le principali particolarità dei campi vettoriali, dei campi conservativi e dei campi irrotazionali.

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Titolo o argomento: Operatore differenziale vettoriale Nabla

Si tratta di un operatore differenziale vettoriale che consente di scrivere in modo più semplice e compatto gli operatori differenziali gradiente di uno scalare, divergenza di un vettore, rotore di un vettore, nonché l’operatore laplaciano di uno scalare ed il laplaciano di un vettore.

La formula riportata sotto è riferita ad uno spazio tridimensionale (R³) ed ogni addendo non è altro che la derivata parziale rispetto a x, rispetto a y e rispetto a z della funzione data. Da notare che nello spazio vettoriale monodimensionale (R) il Nabla corrisponde ad una normalissima Derivata. Talvolta al posto di x,y,z può essere usato x₁, x₂, x₃. Ovviamente nulla cambia.

Importante sarà l’utilizzo di questo operatore nella descrizione di concetti di dinamica del veicolo, fisica matematica e fluidodinamica che seguiranno tra alcune settimane su questo blog.

L’operatore Nabla è spesso chiamato anche “del” o ancora “gradiente”

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Titolo o argomento: Il sistema di riferimento affine, la base di uno spazio vettoriale e lo Span

L’insieme formato da un’origine O appartenente al piano euclideo (denominato A²) e da due vettori “non proporzionali” (i=OA₁, j=OA₂₎ appartenenti a V₀² (ovvero all’insieme dei vettori applicati in O nello spazio bidimensionale) si chiama sistema di Riferimento Affine del piano ovvero RA(O, A₁, A₂).

La coppia di vettori “non proporzionali” che nell’esempio sopra abbiamo chiamato “i, j” si chiama Base di V₀² e si scrive B = (i, j). Infine lo Span è il piano generato dai vettori “i, j”.

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Titolo o argomento: Operatore lineare

Un operatore tra spazi vettoriali che conserva l’addizione e la moltiplicazione per uno scalare. Spesso viene indicato con L(X,Y) dove X e Y sono gli spazi vettoriali. Gli operatori di dimensione finita sono identificabili con le matrici.

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Titolo o argomento: Operatore matematico

Un qualsiasi simbolo utilizzato per indicare un’operazione quale ad esempio l’operatore di integrazione “∫” oppure l’operatore differenziale Δ. Tra i principali operatori, che andremo ad analizzare nei prossimi articoli di questa rubrica, troviamo:

• Operatore normale
• Operatore scalare
• Operatore lineare
• Operatore differenziale (nabla, gradiente, divergenza, rotore, laplaciano*)

*Detto anche: nabla quadro, del quadro o gradiente quadro.

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Titolo o argomento: Ipotesi di Lipschitzianità

Definizione. Proprietà secondo la quale la distanza tra i valori di una funzione è limitata da un multiplo costante della distanza tra gli argomenti. La costante L è maggiore di zero.

A cosa serve? La lipschitzianità è importante per stabilire l’unicità di soluzioni nei problemi di Cauchy relativi ad equazioni differenziali ordinarie.

Funzione di una variabile

In sostanza è una funzione di variabile reale che ha una crescita limitata ovvero il rapporto tra “variazione di ordinata y=f(x)” e “variazione di ascissa x” non può mai superare un valore fissato, detto costante di Lipschitz “L”.

|f(x₁)-f(x₂)| ≤ L |x₁-x₂|

Funzione di due variabili

In sostanza è una funzione di due variabili reali che ha una crescita limitata ovvero il rapporto tra “variazione di quota z=f(x,y)” e “variazione di ascissa x” oppure tra “variazione di quota z=f(x,y)” e “variazione di ordinata y” (Lipschitzianità rispetto a y - esempio sotto) non può mai superare un valore fissato, detto costante di Lipschitz “L”.

|f(x,y₁) - f(x,y₂)| ≤ L |y₁ - y₂|

Per ogni x appartenente all’intervallo I (sull’asse delle ascisse) e per ogni y₁, y₂ appartenenti all’intervallo J (sull’asse delle ordinate)

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