Rubrica: Officina della Matematica
Titolo o argomento: I sistemi di generatori e lo spazio vettoriale
Un sistema di generatori di uno spazio vettoriale V è un insieme di vettori v1, v2, …, vn che generano lo spazio stesso. Quindi, dato un elemento w appartenente a V, esistono degli scalri α1, α2, …, αn appartenenti a R tali che:
w = α1v1 + α2v2 + … + αnvn
Pertanto un sistema di generatori è un insieme di vettori i quali, tramite determinate combinazioni lineari, permettono di ottenere tutto lo spazio V. Un sistema di generatori è una Base (vedi l’articolo: Sistema di riferimento affine, Base e Span) quando i vettori sono linearmente indipendenti.
Uno spazio vettoriale (talvolta chiamato anche spazio lineare) su R è un insieme V su cui sono definite le operazioni di somma e prodotto per scalari che soddisfino gli assiomi dello spazio vettoriale (vedi l’articolo: Assiomi campo ed assiomi spazio vettoriale).
Un sottospazio vettoriale W di uno spazio vettoriale V è un sottoinsieme chiuso rispetto alla somma ed al prodotto per scalari. Questo significa che W è contenuto in V (o uguale a V) ed in esso valgono ancora le operazioni di somma e prodotto per scalari che soddisfano gli assiomi dello spazio vettoriale.